Programmbeispiele

Sie können die Programme entweder per Mausklick ansehen oder (über das Menü der rechten Maustaste) dierekt herunterladen und abspeichern. Die Programmbeispiele sollen für den Leser eine Anregung zu weiteren Studien sein und können keinen Text oder Kurs über numerische Methoden in der Mathematik (wie etwa [ToSp88]}) ersetzen. Einen ausgezeichneten Überblick zu diesem Thema findet man in [PrFlTe99], wo auch eine entsprechende Programmbibliothek in allen gängigen Programmiersprachen vorgestellt wird.

Die Programmbeispiele sollen für den Leser ein Anregung zu weiteren Studien sein und können keinen Text oder Kurs über numerische Methoden in der Mathematik (wie etwa [ToSp88]) ersetzen. Einen ausgezeichneten Überblick zu diesem Thema findet man in [PrFlTe99], wo auch eine entsprechende Programmbibliothek aufgebaut wird.

  Folgen
 

Das erste Beispiel ist ein Programm, um die Konvergenz oder Divergenz einer Folge zu demonstrieren. Andere Folgen können durch entsprechende Änderung der Funktion fg(n) untersucht werden.

FORTRAN90 Programm folgen.f90

Im zweiten Beispiel wird die logistische Abbildung untersucht, eine Folge, die abhängig von einem Kontrollparameter konvergent oder auf verschiedene Arten divergent ist.

FORTRAN90 Programm logmap.f90

Konvergenz von Partialsummen

FORTRAN90 Programm ppfolge.f90

Konvergenz von Potenzreihen

Hier wird der Wert der Partialsumme  für einen Bereich in x mit einer gegebenen Funktion verglichen. Die Konvergenzeigenschaften können durch Untersuchung verschiedener Werte für n und x untersucht werden. Im Programmbeispiel wird die Reihe für die Funktion cos x mit der Funktion selbst verglichen. Man beachte die iterative Berechnung der Folgenglieder in der Partialsumme!

FORTRAN90 Programm partsum.f90

Potenzreihen - algebraisch

Hier ist eine Kollektion von Unterprogrammen, die Berechnung und Manipulationen von Potenzreihen erlauben. Die Potenzreihen  werden durch die Koeffizienten  dargestellt. Die Programme zeigen die wesentlichen Strukturen und sollten zu eigenen Erweiterungen (etwa für andere Winkelfunktionen oder den natürlichen Logarithmus) anregen.

FORTRAN90 Programm polynome.f90

Numerische Interpolation

 

Die wenigen Testdaten in diesem Programmbeispiel zur numerischen Interpolation sollten von Ihnen geeignet vermehrt werden. Sie befinden sich beim DATA-Befehl in Paaren der Form .

FORTRAN90 Programm intpol.f90

Fraktale

In diesem Programmbeispiel werden beliebige Ausschnitte der Mandelbrot-Menge berechnet. Da die Rechnung zeitaufwendig ist, wird im Beispielsprogramm nur ein Feld von 200x200 Punkten dargestellt.

FORTRAN90 Programm mandel.f90

Doppelspalt-Beugungsbild

 

In diesem MATHEMATICA Programm wird die Intensitätsverteilung des Beugungsbildes eines Doppelspalts berechnet und dargestellt.

MATHEMATICA Programm doppelspalt.m

Nullstellen von Funktionen

 

Es werden zwei Verfahren zur numerischen Bestimmung der Nullstelle einer gegebenen Funktion in Programmbeispielen gezeigt: die Regula Falsi und das Newtonsche Verfahren. In beiden Fällen muß ein Intervall angegeben werden, in dem die Funktion einen Vorzeichenwechsel hat.

FORTRAN90 Programm regfalsi.f90

Das Newtonsche Verfahren kann in manchen Fällen aus dem vorgegebenen Intervall hinauslaufen. In diesem Fall wird eine Fehlermeldung ausgeschrieben, und es werden neue Intervallgrenzen angefordert. Dies kann insbesondere dann passieren, wenn es im Intervall Punkte mit sehr kleiner 1. Ableitung gibt. Oft hilft dann ein genaueres Einschränken des Intervalls.

FORTRAN90 Programm newton.f90

Numerische Differentiation

FORTRAN90 Programm deriv.f90

Äquipotentiallinien

Die Darstellung von Kurven konstanten Potentials oder konstanter Temperatur ist ein nützliches Hilfsmittel zur Visualisierung.

FORTRAN90 Programm kontur.f90

Numerische Integration

In diesem Programmbeispiel werden sukzessive immer mehr Stützstellen zur Abschätzung des Integrals herangezogen. Mit jedem Schritt verdoppelt sich die Zahl der Stützstellen (und die benötigte Computerzeit). Obwohl das Verfahren der erweiterten Trapezregel folgt, kann man das Ergebnis entsprechend der erweiterten Simpsonregel durch Kombination von zwei aufeinanderfolgenden Schätzwerten erhalten[PrFlTe99].

FORTRAN90 Programm trapint.f90

Monte Carlo Integration

FORTRAN90 Programm monte.f90
 

Lösung eines Gleichungssystems

Statt den Gauß Algorithmus zu programmieren, verwenden wir die in MATHEMATICA eingebauten Prozeduren, um ein Gleichungssystem zu lösen. Im Prinzip kann man auch mit Matrizen arbeiten, deren Elemente nicht rein numerisch angegeben sind, sondern Funktionen und Parameter enthalten.

MATHEMATICA Programm gauss.m

Methode der kleinsten Fehlerquadrate

Das Ausgleichsverfahren verwendet Polynome, aber man kann das Programm leicht auf andere Funktionen umstellen. Wir zeigen zuerst etwas ausführlicher, wie das Least Square Verfahren arbeitet. Am Ende verwenden wir die vorgesehene Prozedur Fit.

MATHEMATICA Programm lsq.m

Computeranimation

Eine gegebene Menge von Strecken wird schrittweise im Raum gedreht und auf dem Bildschirm dargestellt. Die Drehung und die Blickrichtung des Beobachters können frei gewählt werden. Zur Unterstützung der räumlichen Vorstellung wird auch ein raumfestes Koordinatensystem gezeichnet.

FOTRAN90 Programm rotate.f90

Richtungsfeld

MATHEMATICA Programm zur graphischen Darstellung des durch eine lineare DG gegebenen Richtungsfeldes.

MATHEMATICA Programm vecfld.m

  Planetenbahnen

Dieses FORTRAN90 Programm löst die Gleichungen für ein Zentralkraftproblem, wie es die Bewegung der Erde um die Sonne darstellt. Man kann das Programm leicht auf mehrere Planeten und Monde erweitern. Die Kraft zwischen den beiden Massenpunkten, die sich in einer Ebene bewegen, ist durch  gegeben. Bei mehreren Massepunkten setzt sich jede Kraft, die auf den jeweilig betrachteten Massenpunkt wirkt, aus den Teilkräften zusammen.

FORTRAN90 Programm planet.f90

Relaxation

MATHEMATICA Programm zur Relaxation: Die Potentialwerte sind auf einem 50x50 Grid zu berechnen Die Randbedingungen (hier der äußere Rand und die Werte an der Stelle der Punktladungen des Ladungspaars) werden durch das Array ZRB festgelegt, die Randwerte und Anfangswert werden geeignet initialisiert. Nach 100 Relaxationsschritten wird das Ergebnis graphisch dargestellt.

MATHEMATICA Programm relax.m

Schwingende Saite

MATHEMATICA Programm zur graphischen Darstellung einer schwingenden Saite.

MATHEMATICA Programm saite.m

Schwingende kreisförmige Membran (Trommel)

MATHEMATICA Programm zur graphischen Darstellung von Eigenschwingungen einer kreisförmigen Membran (Trommel) mit Animation.

MATHEMATICA Programm drum.m

Allgemeine Relativitätstheorie

MATHEMATICA Programm zur Berechnung der Raumkrümmung im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie.

MATHEMATICA Programm art.m

 

Literaturhinweise

PrFlTe99

 W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky und W.T. Vetterling, Numerical Recipes (Cambridge University Press, Cambridge: 1999)

ToSp88

 W. Törnig und P. Spelluci, Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker, Band 1 und 2 (Springer-Verlag, Berlin: 1988)

 

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